一、单选题（每题 $2$ 分，共 $30$ 分）

$1、$​​下面关于链表和数组的描述，错误的是（ ）。

{{ select(1) }}

• 当数据数量不确定时，为了应对各种可能的情况，需要申请一个较大的数组，可能浪费空间；此时用链表比较合适，大小可动态调整。
• 在链表中访问节点的效率较低，时间复杂度为$O(n)$ 。
• 链表插入和删除元素效率较低，时间复杂度为$O(n)$ 。
• 链表的节点在内存中是分散存储的，通过指针连在一起。

$2、$在循环单链表中，节点的 next 指针指向下一个节点，最后一个节点的 next 指针指向（ ）。

{{ select(2) }}

• 当前节点
• nullptr
• 第一个节点
• 上一个节点

$3、$为了方便链表的增删操作，一些算法生成一个虚拟头节点，方便统一删除头节点和其他节点。下面代码实现了删除链表中值为 val 的节点，横线上应填的最佳代码是( )。

struct LinkedNode {
	int val;
	LinkedNode* next;
	LinkedNode(int val):val(val), next(nullptr){}
};
void removeElements(LinkedNode* head, int val) {
	if (head == nullptr) {
		return;
	}
	LinkedNode* cur;
	LinkedNode* dummyHead = new LinkedNode(0); //虚拟头节点
	________________________________ // 在此处填入代码
	while(cur ->next ！= nullptr) {
		if(cur->next->val == val) {
			LinkedNode* tmp = cur->next;
			cur->next = cur->next->next;
			delete tmp;
			tmp = nullptr;
		}
		else {
			cur = cur ->next;
		}
	}
	head = dummyHead->next;
	delete dummyHead;
	dummyHead = nullptr;
}

{{ select(3) }}

• dummyHead->next = head; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head; cur = dummyHead->next;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead->next;

$4、$ 对下面两个函数，说法错误的是（ ）。

int fibA(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	int f1 = 0, f2 = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		int temp = f2;
		f2 = f1 + f2;
		f1 = temp;
	}
	return f2;
}
int fibB(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	return fibB(n - 1) + fibB(n - 2);
}

{{ select(4) }}

• 两个函数的实现的功能相同。
• fibA采用递推方式。
• fibB采用的是递归方式。
• fibA时间复杂度为$O(n)$，fibB的时间复杂度为$O(n^2)$ 。

$5、$两块长方形土地的长宽分别为 和 米，要将它们分成正方形的小块，使得正方形的尺寸尽可能大。小杨采用如下的辗转相除函数 gcd(24, 36) 来求正方形分块的边长，则函数 gcd 调用顺序为（ ）。

int gcd(int a, int b) {
	int big = a > b ? a : b;
	int small = a < b ? a : b;
	if (big % small == 0) {
		return small;
	}
	return gcd(small, big % small);
}

{{ select(5) }}

• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)、gcd(12, 0)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)、gcd(0, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)

$6、$ 唯一分解定理表明，每个大于1的自然数可以唯一地写成若干个质数的乘积。下面函数将自然数n的所有质因素找出来，横线上能填写的最佳代码是（ ）。

#include <vector>
vector<int> get_prime_factors(int n) {
	vector<int> factors;
	if (n <= 1) {
		cout << "输入的数必须是大于1的正整数" << endl;
		return;
	}
	while (n % 2 == 0) {
		factors.push_back(2);
		n /= 2;
	}
	________________________________ { // 在此处填入代码
		while (n % i == 0) {
			factors.push_back(i);
			n /= i;
		}
	}
	if (n > 2) {
		factors.push_back(n);
	}
	return factors;
}

{{ select(6) }}

• for (int i = 3; i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i * i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i <= n; i += 2)
• for (int i = 3; i * i <= n; i += 2)

$7、$下述代码实现素数表的埃拉托色尼(埃氏)筛法，筛选出所有小于等于n的素数。

vector<int> sieve_Eratosthenes(int n) {
	vector<bool> is_prime(n +1, true);
	vector<int> primes;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
		if (is_prime[i]) {
			primes.push_back(i);
			for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
				is_prime[j] = false;
			}
		}
	}
	for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
		if (is_prime[i]) {
			primes.push_back(i);
		}
	}
	return primes;
}

下面说法，正确的是（ ）。 {{ select(7) }}

• 代码的时间复杂度是$O(n\sqrt{n})$ 。
• 在标记非素数时，代码从i^2开始，可以减少重复标记。
• 代码会输出所有小于等于n的奇数。
• 调用函数 sieve_Eratosthenes(10) ，函数返回值的数组中包含的元素有： 2, 3, 5, 7, 9 。

$8、$ 下述代码实现素数表的线性筛法，筛选出所有小于等于n的素数。下面说法正确的是( )。

vector<int> sieve_linear(int n) {
	vector<bool> is_prime(n +1, true);
	vector<int> primes;
	for (int i = 2; i <= n/2; i++) {
		if (is_prime[i])
			primes.push_back(i);
		for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) {
			is_prime[ i * primes[j] ] = 0;
			if (i % primes[j] == 0)
				break;
		}
	}
	for (int i = n/2 +1; i <= n; i++) {
		if (is_prime[i])
			primes.push_back(i);
	}
	return primes;
}

{{ select(8) }}

• 线性筛的时间复杂度是$O(n)$ 。
• 每个合数会被其所有的质因子标记一次。
• 线性筛和埃拉托色尼筛的实现思路完全相同。
• 以上都不对

$9、$考虑以下C++代码实现的快速排序算法：

int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {
	int pivot = arr[right]; // 基准值
	int i = left - 1;
	for (int j = left; j < right; j++) {
		if (arr[j] < pivot) {
			i++;
			swap(arr[i], arr[j]);
		}
	}
	swap(arr[i + 1], arr[right]);
	return i + 1;
}
// 快速排序
void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
	if (left < right) {
		int pi = partition(arr, left, right);
		quickSort(arr, left, pi - 1);
		quickSort(arr, pi + 1, right);
	}
}

以下关于快速排序的说法，正确的是（ ）。 {{ select(9) }}

• 快速排序通过递归对子问题进行求解。
• 快速排序的最坏时间复杂度是$O(nlogn)$ 。
• 快速排序是一个稳定的排序算法。
• 在最优情况下，快速排序的时间复杂度是$O(n)$。

$10、$下面关于归并排序，描述正确的是（ ）。

{{ select(10) }}

• 归并排序是一个不稳定的排序算法。
• 归并排序的时间复杂度在最优、最差和平均情况下都是$O(nlogn)$ 。
• 归并排序需要额外的O(1)空间。
• 对于输入数组 {12, 11, 13, 5, 6, 7}，代码输出结果为：7 6 5 13 12 11。

$11、$给定一个长度为n的有序数组 nums ，其中所有元素都是唯一的。下面的函数返回数组中元素 target 的索引。

int binarySearch(vector<int> &nums, int target, int left, int right) {
	if (left > right) {
		return -1;
	}
	int middle = left + ((right - left) / 2);
	if (nums[middle] == target) {
		return middle;
	}
	else if (nums[middle] < target) {
		return binarySearch(nums, target, middle + 1, right);
	}
	else
		return binarySearch(nums, target, left, middle - 1);
}
}
int Find(vector<int> &nums, int target) {
	int n = nums.size();
	return binarySearch(nums, target, 0, n - 1);
}

关于上述函数，描述不正确的是（ ）。 {{ select(11) }}

• 函数采用二分查找，每次计算搜索当前搜索区间的中点，然后根据中点的元素值排除一半搜索区间。
• 函数采用递归求解，每次问题的规模减小一半。
• 递归的终止条件是中间元素的值等于 target ，若数组中不包含该元素，递归不会终止。
• 算法的复杂度为$O(logn)$ .

$12、$给定一个长度为 的有序数组 nums ，其中可能包含重复元素。下面的函数返回数组中某个元素 target 的左边界，若数组中不包含该元素，则返回 −1 。例如在数组 nums =[5,7,7,8,8,10] 中查找target=8 ，函数返回8 在数组中的左边界的索引为3。则横线上应填写的代码为（ ）。

int getLeftBoundary(vector<int>& nums, int target) {
	int left = 0;
	int right = nums.size() - 1;
	while (left < right) {
		int middle = left + ((right - left) / 2);
		if (target <= nums[middle])
			________________________________ // 在此处填入代码
			else
				left = middle+1;
	}
	return nums[left]==target?left:-1;
}

{{ select(12) }}

• right = middle - 1;
• right = middle;
• right = middle + 1;
• 以上都不对

$13、$假设有多个孩子，数组 g 保存所有孩子的胃口值。有多块饼干，数组 s 保存所有饼干的尺寸。小杨给孩子们发饼干，每个孩子最多只能给一块饼干。饼干的尺寸大于等于孩子的胃口时，孩子才能得到满足。小杨的目标是尽可能满足越多数量的孩子，因此打算采用贪心算法来找出能满足的孩子的数目，则横线上应填写的代码为（ ）。

int cooki4children(vector<int>& g, vector<int>& s) {
	sort(g.begin(), g.end());
	sort(s.begin(), s.end());
	int index = s.size() - 1; // 饼干数组下标
	int result = 0;
	for (int i = g.size() - 1; i >= 0; i--) {
		if (index >= 0 && s[index] >= g[i]) {
			________________________________ // 在此处填入代码
		}
	}
	return result;
}

{{ select(13) }}

• result++; index--;
• result--; index--;
• result--; index++;
• result++; index++;

$14、$ 关于分治算法，以下说法中不正确的是（ ）。

{{ select(14) }}

• 分治算法将问题分成子问题，然后分别解决子问题，最后合并结果。
• 归并排序采用了分治思想。
• 快速排序采用了分治思想。
• 冒泡排序采用了分治思想。

$15、$小杨编写了一个如下的高精度减法函数：

vector<int> highPrecisionSubtract(vector<int> a, vector<int> b) {
	vector<int> result;
	int borrow = 0;
	for (int i = 0; i < -size(); ++i) {
		int digitA = a[i];
		int digitB = i < -size() ? b[i] : 0;
		int diff = digitA - digitB - borrow;
		if (diff < 0) {
			diff += 10;
			borrow = 1;
		}
		else {
			borrow = 0;
		}
		result.push_back(diff);
	}
	while (result.size() > 1 && result.back() == 0) {
		result.pop_back();
	}
	return result;
}

下面说法，正确的是（ ）。 {{ select(15) }}

• 如果数组a表示的整数小于b表示的整数，代码会正确返回二者的差为负数。
• 代码假设输入数字是以倒序存储的，例如500存储为 {0, 0, 5} 。
• 代码的时间复杂度为$O(-size()+-size())$
• 当减法结果为 时，结果数组仍然会存储很多个元素0。

二、判断题（每题 $2$ 分，共 $20$ 分）

$16、$单链表只支持在表头进行插入和删除操作。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

$17、$ 线性筛相对于埃拉托斯特尼筛法，每个合数只会被它的最小质因数筛去一次，因此效率更高。

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

$18、$任何一个大于1的自然数都可以分解成若干个不同的质数的乘积，且分解方式是唯一的。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

$19、$贪心算法通过每一步选择当前最优解，从而一定能获得全局最优解。

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

$20、$递归算法必须有一个明确的结束条件，否则会导致无限递归并可能引发栈溢出。

{{ select(20) }}

• 正确
• 错误

$21、$快速排序和归并排序的平均时间复杂度均为$O(nlogn)$ ，且都是稳定排序。

{{ select(21) }}

• 正确
• 错误

$22、$ 快速排序的时间复杂度总比插入排序的时间复杂度低。

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

$23、$ 二分查找仅适用于数组而不适合链表，因为二分查找需要跳跃式访问元素，链表中执行跳跃式访问的效率低。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

$24、$题 对有序数组{5,13,19,21,37,56,64,75,88,92,100} 进行二分查找，成功查找元素 19 的比较次数是2。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

$25、$ 递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等，导致递归通常比迭代更加耗费内存空间。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误